問題　１５　（３０，４０，３０，５０）

この問題は「問題1１：ラングレーの問題」を少し回転したものです。すなわち、問題1１の問題になりますが、数学で問題の逆って以外にムズカシクなることがあります。

　今回も　４０＋５０＝９０　より「定理４」を使ってみます。

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［解答］
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∠ＤＢＣ＋∠ＡＣＤ＝９０°で（上図） 　　「定理４」から△ＤＢＣの外心Ｆは 　　ＡＣ上にあり、∠ＣＢＦ＝３０°のとこ 　　ろ。ＢＡの延長線と外接円の 　　交点をＨとして角度を調べると 　　△ＦＣＤ，△ＦＢＣ，△ＦＢＤ， 　　△ＦＢＨ，△ＦＨＤは底角が 　　それぞれ、５０°、３０°、１０°、４０° 　　６０°の二等辺三角形になっている。 　　とくに△ＯＦＤは正三角形より 　ＦＤ＝ＤＨ,∠ＡＦＨ＝∠ＨＦＢ−∠ＡＦＢ＝４０° 　　二等辺三角形ＡＦＨより　ＡＨ＝ＡＦ 　　以上から四角形ＨＡＦＤは「たこ形」で 　　ＡＤはその対称軸 　　∠ＨＤＡ＝∠ＦＤＡ＝３０ 　　∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＦー∠ＢＤＦ＝２０° 　　　　　　　　　　　　　答え　２０°

［別の解答］

上図において 　　△ABCの外心をF、 　　　CFとBDの交点をGすると（↓図） 　　△ABFは正三角形で、直線BDは 　　これの対称軸になり、 　　∠GFB=∠GAB=２０、 　　∠FGD=∠AGD=５０ 　　∠ACD=５０　より 　　四角形AGCDは円に内接するので、 　　∠ADB=∠ACG＝２０° 　　　　　　　　　　　　　　答え　２０°