問題１８の答え

［解答その１ー１］  （△ＡＢＭの外心が直線ＢＭの下にあるとき） ∠Ｂ＝３０　より△ＡＢＭの外心Ｄをとると、 　△ＡＤＭは正三角形　で　ＢＤ＝ＤＭ　 ∠ＢＭＤ＝∠ＡＭＤ−∠ＡＭＢ ＝６０−３Ｘ 　ＣＡの延長上にＡＭ＝ＡＥ　となる点Ｅを 　とると、△ＡＥＭは底角Ｘの二等辺三角 　△ＥＭＣはＥＭ＝ＭＣ　の二等辺三角形 　　　であることがわかる　ＥＭ＝ＭＣ＝ＢＭ 　　またＡＥ＝ＡＭ＝ＭＤ＝ＤＢ　より 　　△ＢＤＭ≡△ＥＡＭ、∠ＡＭＥ＝∠ＢＭＤ 　　　　　　Ｘ＝６０ー３Ｘ　をといて　Ｘ＝１５

［解答その１ー２］  （△ＡＢＭの外心が直線ＢＭの上部にあるとき） 　∠Ｂ＝３０　より△ＡＢＭの外心Ｄをとると、 　△ＡＤＭは正三角形　で　ＢＤ＝ＤＭ　 　∠ＢＭＤ＝∠ＡＭＢー∠ＡＭＤ 　　＝３Ｘー６０ 　ＣＡの延長上にＡＭ＝ＡＥ　となる点Ｅを 　とると、△ＡＥＭは底角Ｘの二等辺三角形 　　△ＥＭＣはＥＭ＝ＭＣ　の二等辺三角形 　であることがわかる　ＥＭ＝ＭＣ＝ＢＭ 　またＡＥ＝ＡＭ＝ＭＤ＝ＤＢ　より 　　△ＢＤＭ≡△ＥＡＭ 　∠ＡＭＥ＝∠ＢＭＤ 　　Ｘ＝３Ｘー６０　をといて 　　　　　　Ｘ＝３０　　以上から 　　　　答え　Ｘ＝１５°、３０° （解答その１）の類似の解答として、△ＡＭＣを裏返してＡＣに貼り付ける。このとき四角形ＡＭ（Ｍ）Ｃが等脚台形ができるようにする…という方法もあります。次に三角比を用いた↓[解答その２]です。２倍角も使用していますから、数�Uの範囲ということになります。

［解答その２］  　ＢＭ＝ＭＣ＝α、　ＡＭ＝β　とする。 　　∠ＢＡＭ＝１８０−３０−３Ｘ 　　　　　　　＝１５０ー３Ｘ 　　△ＡＢＭで正弦定理より、 　　α／ｓｉｎ（１５０−３Ｘ） 　　　　　　　　＝β／ｓｉｎ３０　より 　　α／β＝２ｓｉｎ（１５０−３Ｘ）　…（ア） 　　△ＡＭＣで正弦定理より 　　α／ｓｉｎ２Ｘ＝β／ｓｉｎＸ　より α／β＝ｓｉｎ２Ｘ／ｓｉｎＸ ＝２ｃｏｓＸ　…（イ） 　（ア）、（イ）よりｓｉｎ（１５０−３Ｘ）＝ｃｏｓＸ 　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ｓｉｎ（９０−Ｘ） 　　この方程式を解くと 　　１５０−３Ｘ＝９０−Ｘ　のとき 　　　　　　　　　Ｘ＝３０ 　　１５０ー３Ｘ＝１８０−（９０−Ｘ）　 　　　　のとき　Ｘ＝１５ 　　　　　　　答え　Ｘ＝１５°、３０°