ラングレーの類題について

 　問題（２０、６０，５０，３０）について

　　下のような解き方をしたとします。
　

　　△ＡＢＣは
　ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形
　ここで、∠ＦＢＣ＝２０°
　　　となるＤＣ上の点Ｆをとる
　∠ＢＣＦ＝∠ＢＦＣ＝８０　より
　　　　　　ＢＣ＝ＢＦ
　　△ＡＢＦは頂角６０°の
　　　　二等辺三角形から
　　　　　正三角形ＡＢＦになり、
　　　　　　BF＝FA
　∠ＦＢＤ＝∠ＦＤＢ＝４０　より
　　　　　　ＢＦ＝ＦＤ　　
　以上からＦＡ＝ＦＤで
　　△ＡＦＤは二等辺三角形
　　∠ＡＦＤ＝４０°，∠ＡＤＦ＝７０°
　　∠ＡＤＢ＝７０−４０＝３０



　　　　　　　　　　答え　３０°


　問題（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）が

　　上のような解き方ができたとします。
　∠ＢＡＣ＝１８０ーａーｂーｃ
　∠ＢＤＣ＝１８０ーｂーｃーｄ
　
　ＡＢ＝ＢＣの二等辺三角形で
　　あったので、
　　１８０ーａーｂーｃ＝ｃ
　　ａ＋ｂ＋２ｃ＝１８０　…（ア）

　　BF＝ＢＣの二等辺三角形から
　　∠ＦＢＣ＝１８０−２ｃー２ｄ
　　∠ＡＢＦ＝６０　より
　　∠ＡＢＦ＝ａ＋ｂー（１８０−２ｃー２ｄ）
　　　　　　＝６０
　　ａ＋ｂ＋２ｃ＋２ｄ＝２４０　…（イ）
　　
　　　ＢＦ＝ＦＤの二等辺三角形から
　　ｂ＋２ｃ＋２ｄー１８０
　　　　　　　　　　　＝１８０ーｂーｃーｄ
　　より　２ｂ＋３ｃ＋３ｄ＝３６０　…（ウ）
 
　以上（ア）、（イ）、（ウ）より
　
　　ｂ＝３ａ
　　ｃ＝９０−２ａ
　　ｄ＝３０　
　（　ａ、３ａ、９０−２ａ、３０）の形をしていて
　　　答えの∠ＡＤＢは△ＡＢＤの外心より
　　∠ＡＤＢ＝３０　　を得る。　　これから、
　　問題（１０，３０，７０，３０）
　　問題（３０，９０，３０，３０）
　　問題（４０，１２０，１０，３０）
　　　　　　　→（３０，１０，１２０，４０）
　　は同様に解けることを確認して完了。

　　元の問題の解き方が違うと、
　　その類題も違ってくることがあります。

ａをパラメーターで表現することで、類題を作ったことになります。