ラングレーＢ型の問題
 
　四角形ＡＢＣＤにおいて、
　∠ＡＢＤ＝ａ、∠ＤＢＣ＝ｃ
　∠ＡＤＢ＝ｆ　、∠ＢＤＣ＝ｅ
　が与えられたとき、
　　∠ＡＣＢの大きさは？




ラングレーの問題とは、条件の
違う問題になりますが、
それぞれの問題は
　（ａ，ｂ，ｅ，ｆ）
の形で与えられます。


（　解きやすいほうの問題　）

 ［たこ形］
　２つの二等辺三角形の底辺を
　合わせた形で１つの対角線が
　対称軸になっている。↓図の
　（３０，５０，５０，３０）の問題では、
　答え　　Ｘ＝４０°

　（３０，３０，５０，５０）の問題でも、
　　　２角夾辺から、
　　合同になり、たこ形になります。

［円に内接する四角形］
　　　対角の和（∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ）が
　　　１８０°であれば円に内接し
　　　その円周角で解決します。
　　　（３０、４０，６０，５０）の問題では、

　　答え　Ｘ＝５０°

 

 ［外心１］
　　（７０，５０，８０，４０）の問題↓では、
　　△ＡＢＤ，△ＤＢＣは二等辺三角形
　　ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ　より、点Ｄは
　　△ＡＢＣの　外心、その円周角より、
　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ÷２
　　　＝４０÷２＝２０

答え　Ｘ＝２０° 
 
［外心２］
　　△ＡＢＤは二等辺三角形
　∠ＢＡＤ＝１２０　点Ａを中心とした、
　半径ＡＢの円を考えると　∠ＢＡＤの
　Ｃを含まない角（優角）
　３６０−１２０＝２４０　
　この半分が∠ＢＣＤ＝１２０　
　になっているので、点Ｃはその
　円周上にあり、点Ａは△ＢＣＤの
　外心になっている。
　　△ＡＢＣは二等辺三角形より

　　　答え　Ｘ＝５０° 

［傍心１］
　（７０，４０，８０，５０）の問題↓
　点Ａは△ＢＤＣの傍心になっています。
　すなわち、　線分ＢＡは∠ＤＢＣの
　外角の二等分線、線分ＤＡは
　∠ＢＤＣの外角の二等分線、よって
　（くわしくはここ傍心のページへ）
　線分ＡＣは∠ＤＣＢの二等分線になる

　　答え　Ｘ＝３０° 

［傍心２］
　　（２０，２０，４０，３０）の問題↓
　　点Ｄは△ＡＢＣの傍心になって
　　います。　一般に、ａ＝ｂ　かつ　
　　ａ＋ｅ＋ｆ＝９０を満たしていれば
　　点Ｄは傍心で、Ｘ＝２ｆ　となります。
　　くわしくはここ傍心の「定理７」へ
　　
　答え　Ｘ＝６０° 

（一般的な問題）
 
∠ＡＢＤ＝ａ、∠ＤＢＣ＝ｂ
　　∠ＡＤＢ＝ｆ、∠ＢＤＣ＝ｅ
　　と与えられたとき∠ＡＣＢの
　　大きさを求めなさい。
　　下の問題のように
　　　（ａ，ｂ，ｅ，ｆ）の形で表し、
　　ａ≦ｂ，ｅ，ｆ　とします。

↓は上の６つの解きやすい問題を除いた問題を
載せています。問題を管理人が解いてみて
はじめの１歩を「解き方の一つのヒント」とし
ていますが、それよりももっと簡単な解き方
のはじめの１歩があるかもしれません。
いくつかの問題には解答のページを作ってい
ます。ヒントに［問題〜番と同様」とあるもので，
適用できないときは（ｆ，ｅ，ｂ，ａ）のように角度
を入れ替えてください。


Lang2

　番号
　問題
　　　　　　答		 １つの解き方のヒント
１　
（１０，１０，２０，１０）
　　　　　４０		 △ＡＢＤをＢＡで折り返す
２
（１０，１０，３０，１０）
　　　　　３０		 △ＤＢＣをＢＤで折り返す。
３
（１０，１０，３０，２０）
　　　　　６０		 △ＡＢＤの外心をとる。
４
（１０，１０，４０，２０）
　　　　　５０		 △ＡＢＤの外心をとる。
５
（１０，１０，７０，３０）
　　　　　５０		 △ＡＢＤをＢＤで折り返す。
６
（１０，１０，７０，４０）
　　　　　　６０		 △ＤＢＣの外心をとる。
７
（１０，１０，１００，２０）
　　　　　　３０		 △ＡＢＤをＡＢで折り返す。
８
（１０，１０，１００，３０）
　　　　　　４０		 △ＡＢＤをＢＤで折り返す。
９
（１０，２０，１０，３０）
　　　　　１３０		 △ＡＢＣの外心をとる。
１０
（１０，２０，２０，２０）
　　　　　１００		 問題１と同様
１１
（１０，２０，２０，３０）
　　　　　１１０		 正三角形ＢＣＦをＡ側に作る。
１２
（１０，２０，３０，１０）
　　　　　　５０		 問題１２と同様
１３
（１０，２０，３０，２０）
　　　　　　８０		 ＢＣのＣの延長上に∠ＢＤＦ＝８０となる点Ｆをとる。
１４
（１０，２０，３０，４０）
　　　　　１００		 △ＤＢＣをＤＢで折り返す
１５
（１０，２０，３０，７０）
　　　　　　１１０		 △ＣＤＢの外心をとる。
１６
（１０，２０，４０，１０）
　　　　　　　４０		 正三角形ＡＢＦをＣ側に作る。
１７
（１０，２０，４０，３０）
　　　　　　　８０		 △ＡＢＤの外心をとる。
１８
（１０，２０，４０，７０）
　　　　　　１００		 ＢＤ上に∠ＢＣＦ＝２０となるＦをとる。
１９
（１０，２０，５０，３０）
　　　　　　　７０		 △ＡＢＣをＢＣで折り返す。
２０
（１０，２０，６０，２０）
　　　　　　　５０		 　　　　　解答へ
２１
（１０，２０，６０，４０）
　　　　　　　７０		 ＤＡのＡの延長上に∠ＣＦＡ＝２０となる点Ｆをとる。
２２
（１０，２０，８０，２０）
　　　　　　　４０		 ＤＣの垂直二等分線をひく。
２３
（１０，２０，８０，３０）
　　　　　　　５０		 △ＡＢＤをＢＤで折り返す。
２４
（１０，２０，１００，１０）
　　　　　　　２０		 頂角８０の二等辺三角形ＡＢＦをＣ側に作る。
２５
（１０，２０，１００，３０）
　　　　　　　４０		 ＢＤ上に∠ＢＡＦ＝１０となる点Ｆをとる。
２６
（１０，３０，２０，２０）
　　　　　　１００		 △ＡＢＤの外心をとる。
２７
（１０，３０，２０，４０）
　　　　　　１１０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返す。
２８
（１０，３０，４０，２０）
　　　　　　　７０		 正三角形ＢＤＦをＣ側に作る。
２９
（１０，３０，４０，３０）
　　　　　　　８０		 △ＣＤＢの外心をとる。
３０
（１０，３０，５０，２０）
　　　　　　　６０		 △ＡＢＤの外心をとる
３１
（１０，３０，５０，３０）
　　　　　　７０		 ＡＢ上に∠ＢＣＦ＝４０の点Ｆをとる。
３２
（１０，３０，７０，１０）
　　　　　　　３０		 ＢＣ上に∠ＡＥＢ＝４０となる点Ｅをとる。
３３
（１０，３０，７０，４０）
　　　　　　　６０		 ＤＣの延長上に∠ＡＢＥ＝７０となる点Ｅをとる。
３４
（１０，３０，８０，２０）
　　　　　　　４０		 解答へ
３５
（１０，３０，１００，１０）
　　　　　　　２０		 解答へ
３６
（１０，３０，１００，２０）
　　　　　　　３０		 △ＡＢＤの外心をとる。
３７
（１０，４０，２０，３０）
　　　　　　１１０		 △ＡＢＤの外心をとる。
３８
（１０，４０，３０，２０）
　　　　　　８０		 問題３０と同様
３９
（１０，４０，６０，２０）
　　　　　　　５０		 △ＡＢＤの外心をとる。
４０
（１０，４０，７０，１０）
　　　　　　　３０		 解答へ
４１
（１０，４０，７０，３０）
　　　　　　　５０		 △ＡＢＤをコピーして、ＢＣに貼り付ける
４２
（１０，７０，３０，２０）
　　　　　　　６０		 △ＡＢＤの外心をとる。
４３
（１０，７０，４０，２０）
　　　　　　　５０		 △ＢＣＤの外心をとり…定理６を使用
４４
（２０，２０，８０，２０）
　　　　　　　３０		 問題４０と同様
４５
（２０，２０，８０，３０）
　　　　　　４０		 問題４１と同様
４６
（２０，３０，２０，６０）
　　　　　　１００		 問題２９と同様
４７
（２０，３０，４０，６０）
　　　　　　　８０		 問題３１と同様
４８
（２０，３０，４０，１２０）
　　　　　　１００		 △ＢＣＤの外心をとる。
４９
（２０，３０，７０，４０）
　　　　　　　５０		 問題３４と同様
５０
（２０，３０，８０，２０）
　　　　　　　３０		 問題３２と同様
５１
（２０，３０，１１０，４０）
　　　　　　　３０		 △ＡＢＤの外心をとる。
５２
（２０，４０，１０，３０）
　　　　　　１００		 △ＡＢＤをＢＤで折り返す。
５３
（２０，４０，３０，５０）
　　　　　　　８０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返す。
５４
（２０，４０，３０，１３０）
　　　　　　１００		 △ＡＤＢをＡＢで折り返す。　
５５
（２０，４０，７０，３０）
　　　　　　　４０		 問題２３と同様
５６
（２０，４０，１１０，３０）
　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心をとる。
５７
（２０，５０，３０，４０）
　　　　　　　７０		 ＤＣの延長上に∠ＤＢＦ＝９０となる点Ｆをとる。
５８
（２０，５０，５０，100）
　　　　　　　７０		 ＢＡとＣＤの延長上の交点をＦ、△ＢＣFの外心G。線分ABに点Hを正三角形ADH。FHGDは円に内接
５９
（２０，５０，８０，６０）
　　　　　　　４０		 ＢＤを一辺とする正三角形をＡ側に作る。
６０
（２０，６０，４０，３０）
　　　　　　　５０		 問題４８と同様
６１
（２０，６０，４０，１１０）
　　　　　　　７０		 ＡＢ上に∠ＢＣＦ＝６０となる点Ｆをとる。
６２
（２０，６０，８０，５０）
　　　　　　　３０		 ＤＣ上に∠ＤＦＡ＝２０となる点Ｆをとる。
６３
（２０，１００，３０，１１０）
　　　　　　　４０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返す。
６４
（２０，１００，５０，５０）
　　　　　　　２０		 問題４３と同様
６５
（２０，１１０，３０，１００）
　　　　　　　３０		 ＣＤ上に∠ＤＢＦ＝３０となる点Ｆをとる。
６６
（２０，１１０，４０，６０）
　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心をとる。
６７
（２０，１２０，２０，１３０）
　　　　　　　３０		 △ＡＢＤの外心をとる。
６８
（２０，１２０，４０，３０）
　　　　　　　１０		 問題３１と同様
６９
（２０，１３０，３０，４０）
　　　　　　　　１０		 解答へ
７０
（３０，４０，３０，５０）
　　　　　　　７０		 △ＡＢＤの外心をとる。
７１
（３０，４０，４０，１００）
　　　　　　　８０		 問題３２と同様
７２
（３０，４０，６０，１００）
　　　　　　　７０		 △ＡＢＤの外心をとる。
７３
（３０，４０，８０，５０）
　　　　　　　４０		 問題３４と同様
７４
（３０，４０，１００，５０）
　　　　　　　３０		 問題２３と同様
７５
（３０，５０，３０，１１０）
　　　　　　　８０		 問題７２と同様
７６
（３０，５０，５０，８０）
　　　　　　　６０		 問題３５と同様
７７
（３０，５０，５０，１１０）
　　　　　　　７０		 問題３２と同様
７８
（３０，５０，８０，４０）
　　　　　　　３０		 問題２３と同様
７９
（３０，５０，８０，７０）
　　　　　　　４０		 △ＡＢＤをＡＢで折り返す。
８０
（３０，５０，１００，４０）
　　　　　　　２０		 ＣＤとＢＡの交点Ｆ，△ＦＢＣの外心をとる。
８１
（３０，７０，３０，１００）
　　　　　　　６０		 △ＡＢＤの外心をとる。
８２
（３０，７０，４０，８０）
　　　　　　　５０		 問題５３と同様
８３
（３０，７０，７０，７０）
　　　　　　　３０		 問題８、３５と同様
８４
（３０，７０，８０，５０）
　　　　　　　２０		 頂角８０の二等辺三角形ＤＣＦをＢ側に作る。
８５
（３０，８０，４０，７０）
　　　　　　　４０		 ＡＢ上に∠ＢＤＦ＝３０となる点Ｆをとる。
８６
（３０，８０，５０，５０）
　　　　　　　３０		 問題８と同様
８７
（３０，８０，５０，１００）
　　　　　　　４０		 問題５３と同様
８８
（３０，８０，６０，８０）
　　　　　　　３０		 △ＡＢＤの外心をとる。
８９
（３０，１００，３０，７０）
　　　　　　　３０		 問題８８と同様
９０
（３０，１００，４０，４０）
　　　　　　　２０		 問題５と同様
９１
（３０，１００，４０，１１０）
　　　　　　　　３０		 問題６３と同様
９２
（３０，１００，５０，８０）
　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤをＣＤで折り返す。
９３
（３０，１００，６０，４０）
　　　　　　　　１０		 △ＡＢＤをＢＤで折り返す。
９４
（３０，１１０，３０，１３０）
　　　　　　　　３０		 △ＢＣＤの外心をとる。
９５
（３０，１１０，４０，１００）
　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤをＣＤで折り返す。
９６
（３０，１１０，５０，５０）
　　　　　　　１０		 問題５と同様
９７
（４０，４０，１１０，４０）
　　　　　　　２０		 △ＢＤＣの外心をとる。
９８
（４０，６０，４０，７０）
　　　　　　５０		 ＣＤの延長線上に∠ＥＡＤ＝３０となるＥをとる。
９９
（４０，６０，８０，７０）
　　　　　　３０		 ∠ＤＢＥ＝２０となる点Ｅを辺ＤＣ上にとる。
１００
（４０，７０，７０，８０）
　　　　　　　３０		 ＢＡとＣＤの交点をＦ、△ＦＢＣの外心をとる。
１０１
（４０，７０，８０，６０）
　　　　　　　２０		 問題９２と同様
１０２
（４０，８０，５０，１１０）
　　　　　　　４０		 △ＡＢＤの外心をとる。
１０３
（４０，８０，７０，７０）
　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心をとる。
１０４
（４０，１００，５０，１００）
　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心をとる。
１０５
（４０，１１０，４０，１２０）
　　　　　　　２０		 △ＢＣＤをＢＣで折り返す。
１０６
（４０，１１０，５０，８０）
　　　　　　　１０		 ＣＢの延長上に∠ＢＤＦ＝３０となる点Ｆをとる。
１０７
（５０，５０，１００，５０）
　　　　　　　２０		 等脚台形ＡＦＣＤとなるＦをＣＢの延長上にとる。
１０８
（５０，８０，６０，１００）
　　　　　　　３０		 問題９５と同様
１０９
（５０，８０，７０，８０）
　　　　　　　２０		 問題１０３と同様
１１０
（５０，１００，６０，８０）
　　　　　　　１０		 正三角形ＡＤＦをＢ側に作る。