整角三角形

（　解きやすいほうの問題　）

①　[二等辺三角形その１]

　点Aを頂角とする二等辺三角形
　直線AD　はその対称軸になる、
　　一般に，ａ＝ｄ，ｂ＝ｃ，のとき　
　　　　　　ｘ＝９０－ａ－ｂとなる。
　　↓図の（２０，３０，３０，２０）では

　　X＝４０°

②　[二等辺三角形その２]

　点Cを頂角とする二等辺三角形
　直線CD　はその対称軸になる
　一般に　ｃ＝ｄ，ａ＋ｂ＋ｃ＝９０，
　　　　　X＝ｂ　となる。
　　↓図の（２０，３０，４０，４０）では

　X＝３０　

③　[点Dが垂心]

DC⊥AB、BD⊥ACであれば、点Dは
△ABC　の垂心で、AD⊥BCとなる。
一般に　ａ＋ｂ＋ｃ＝９０，ｂ＋ｃ＋ｄ＝９０
のとき、X＝ｂ　となる。↓図の
（２０，３０，４０，２０）では　X＝３０　となる。

　　　　垂心については「垂心」へ
　　　（垂心を知らなくても…）
　　　　CDとAB、BDとACの延長上の交点をEとFとする。
　　　　四角形EBCFとAEDFが円に内接するタイプは
　　　　ａ＝ｄ　　ａ＋ｂ＋ｃ＝９０　の時は　　X＝ｂ

④　[点Dが内心]
　
ａ＝ｂ，ｃ＝ｄであれば、
　　点Dは△ABCの内心で
　　X＝９０ーａーｃ　となる
　↓図の（２０，２０，３０，３０）では
　　　　　　　　
　　　　　　　X＝４０　となる。

⑤　[点Dが外心]
　
DB＝DCの二等辺三角形DBC
　∠BDC＝２∠BACの関係のとき
　　点Dは△ABCの外心となる。
　一般に、ｂ＝ｃ，ａ＋ｂ＋ｄ＝９０
　　のとき、X＝ｄ　となる。
　　↓図の（３０，２０，２０，４０）では

X＝４０　

一般的な問題

↓図の三角形ABCの内部の点Dが
∠ABD＝ａ，∠DBC＝ｂ，∠DCB＝ｃ，
∠ACD＝ｄ　をみたすとき、∠DACは？
それぞれの問題は　ａ≦ｄ　として、
（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）の形で与えています。
　上の「解きやすいほうの問題①～⑤」
にあたる問題は省略し、それぞれの
解答の略解を下の表に書いていますが、
もっと簡単な方法があるかも

　　

Ｎｏ．問題　　　　　　答え	一つの解き方
１（１０，１０，１０，２０）　　　　　　１００	点EをA側になるように正三角形BDEを作る。点Dは△EBCの外心。∠ECD＝２０よりC,A,Eは同一直線上。∠EBA＝∠EAB…Eは△ABDの外心
２（１０，１０，１０，３０）　　　　　　１００	頂角４０の合同な二等辺三角形FBDとEDCをA側に作る。△FDEは正三角形で、F、A、Cは同一直線上がいえて、正三角形FBA、点Fは△ABDの外心になる。
３（１０，１０，２０，１０）　　　　　　　３０	△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。△DECは正三角形、△EBCと△AECは二等辺三角形から、点Eは△ADCの外心
４（１０，１０，２０，３０）　　　　　　　７０	△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。△EDCは正三角形でACはその対称軸から四角形ADCEはタコ型
５（１０，１０，２０，４０）　　　　　　　７０	∠ACDの二等分線とABの交点をEとする。点Dは△EBCの内心。∠BED＝∠DEC＝∠DEA＝６０から、四角形EDCAはタコ型。
６（１０，１０，２０，１００）　　　　　　　３０	△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。△DECは正三角形、△AECは二等辺三角形から、点Ｅは△ＡＤＣの外心
７（１０，１０，３０，１０）　　　　　　２０	BAのAの延長上に∠DEA＝１０となるEをとり、△DBCの外心Fをとると、点Dは△BFEの外心から、３点F、C、Eは同一直線上
８（１０，１０，３０，２０）　　　　　　４０	BA,BCのBでない方の延長線上に∠DEA＝∠DFC＝２０のE、Fをとると正三角形EDF、∠DCF＝１５０よりEは△DCFの外心で四角形ADCEは円に内接
９（１０，１０，３０，７０）　　　　　　４０	９番の解答へ
１０（１０，１０，３０，１００）　　　　　　２０	正三角形DBEをC側に作ると、Eは△DBCの外心で、A、C、Eは同一直線上で∠BAE＝３０から、点Dは△ABEの外心となる。
１１（１０，１０，４０，２０）　　　　　　３０	∠DCBの二等分線とDBの交点をFとすると、Fは△EBCの内心で、∠BEF＝∠CEF＝６０から、△EFC≡△EAC、∠DAC＝∠DFC
１２（１０，１０，４０，７０）　　　　　　３０	CDの延長線と辺の交点をE、BDの延長線の交点をF、対角の和が１８０より、四角形AEDFは円に内接。Fは△EBCの傍心から、∠EFD＝２０＝∠EAD
１３（１０，１０，７０，３０）　　　　　　２０	１３番の解答へ
14 （１０，１０，７０，４０）　　　　　　２０	１４番の解答へ
１５（１０，１０，１００，２０）　　　　　　１０	BC、BAのBでない延長上に∠DFA＝∠DEC＝２０となるF,Eをとる。CE＝ED＝EFから、Eは△FDCの外心。四角形ADCFは円に内接する
１６（１０，１０，１００，３０）　　　　　　１０	△BCDの外心EはAB上にあり、EC＝ED、∠DEA＝２０。△AECの外心Fをとる。正三角形FECから、△EFA≡△EDA
１７（１０，２０，１０，３０）　　　　　　１００	△ABCの外心をとる。AE＝EB＝EC、正三角形AECの直線DCは対称軸より、DA＝DE、∠DBE＝∠AEB／２＝４０、「定理６」よりDEは△AEBの対称軸。
１８（１０，２０，２０，２０）　　　　　　　８０	問題１１番と同様
１９（１０，２０，２０，３０）　　　　　　　８０	正三角形DCEをA側に作る。DB＝DC＝DEより点Dは△EBCの外心で、∠EBD＝１０より、EはBA上にある。四角形ADCEはタコ型
２０（１０，２０，３０，１０）　　　　　　　４０	正三角形EBCをA側に作る。直線BAとCDはその対称軸から、∠ACE＝∠AEC＝２０、∠DBE＝∠DEB＝４０から、３点E,A,Dは同一直線上。
２１（１０，２０，３０，２０）　　　　　　　６０	正三角形EBCをA側に作る。直線BAとCDはその対称軸から、∠AEC＝∠ACE＝１０、∠DEC＝∠DBC＝２０で、∠DEA＝∠ABDから、４点EBDAは同一円周上
２２（１０，２０，３０，４０）　　　　　　　６０	△BDCの外心をEとする。∠BEC＋∠BAC＝１８０より四角形ABECは円に内接する。∠AEB＝７０より△ABE,△DEBは二等辺三角形。∠BAD＝∠EAD
２３（１０，２０，３０，７０）　　　　　　４０	CDとABの交点をG、△ABCの外心をEとする。△BGC、△BECは二等辺三角形でEGはその対称軸より、△EBG≡△DBG、△EBA≡△DBAから、∠BAD=∠BAE
２４（１０，２０，４０，１０）　　　　　　３０	BAのAの延長線上に∠DEA＝１０、BCのCの延長線上に∠DFC＝２０となるEFをとると、Dは△EBFの外心。四角形EDCFはタコ型、四角形ADCEは円に内接する。
２５（１０，２０，４０，３０）　　　　　　５０	△ABCの外心E、BEとCDの交点をFとし、線分CDは正三角形AECの対称軸より、∠DFE＝∠DFA＝５０、点Dは△ABFの内心になっている。∠DAF＝３０
２６（１０，２０，４０，７０）　　　　　　３０	２６番の解答へ
２７（１０，２０，５０，３０）　　　　　　４０	△ABCの外心EはBD上にあり、線分CDは正三角形AECの対称軸で、∠DAC＝∠DEC
２８（１０，２０，６０，２０）　　　　　　８０	△ABCの外心EはBD上にあり、線分ADは正三角形AECの対称軸で、∠DAC＝∠DＡＥ
２９（１０，２０，６０，４０）　　　　　　３０	△ABCの外心Eを作る。∠EBD＝∠DCEより四角形EBCDは円に内接する。∠DEC＝∠DCE＝２０、DE＝DCで、ADは正三角形AECの対称軸
３０（１０，２０，８０，２０）　　　　　　２０	正三角形ABEをC側につくり、BCとAEの交点をFとする。BCはその対称軸なので、∠ACF＝∠ECF＝８０から、D、C、Eは同一直線上。DB＝DEから、ADも対称軸
３１（１０，２０，８０，３０）　　　　　　２０	∠DBCの二等分線とACの交点をEとする。四角形DBCEはタコ型で∠CEB＝∠BED＝６０＝∠DEA、点Dは△ABEの内心になっている。
３２（１０，２０，１００，１０）　　　　　　１０	３２番の解答へ
３３（１０，２０，１００，３０）　　　　　　１０	△ABCの外心をE、CDとABの交点をFとする。直線CFはは正三角形ACEの対称軸より、∠FAC＝∠FEC、∠FEB＋∠FDB＝１８０、∠FBD＝∠FED＝∠FAD
３４（１０，３０，１０，２０）　　　　　１００	正三角形EBCをA側に作る。BD、ACはその対称軸より、∠BED＝∠BCD＝１０、∠AEB＝２０、∠ABD＝∠AED＝１０で、ADBEは円に内接する。
３５（１０，３０，２０，２０）　　　　　８０	正三角形AECをB側に作る。点Aは△BECの外心で、四角形DBECはタコ型から、△DBEは正三角形で線分ADは二等辺三角形の対称軸。
３６（１０，３０，２０，４０）　　　　　　７０	△BDCの外心Eをとる。△DECは正三角形、∠BEC＋∠BAC＝１８０でABECは円に内接するので、∠CAE＝４０＝∠CEA、△ACDは二等辺三角形
３７（１０，３０，４０，２０）　　　　　　５０	CDとABの交点をE、BE＝EC＝AC、正三角形ECFをA側に作ると。頂角１６０の二等辺三角形EBFから、B,D,Fは同一直線上、Cは△AEFの外心、A,C,D,Fは同一円周上。
３８（１０，３０，４０，３０）　　　　　　５０	BA＝BC、正三角形AEBを作る。△AECの外心はBとなり、∠BED＝４０、∠EDB＝７０、より、E、D、Cは同一直線上、点Eは△ABDの外心
３９（１０，３０，５０，２０）　　　　　　４０	正三角形ABEをC側に作る。Bは△ACEの外心。∠DBE＋∠DCE＝１８０より∠BDE=∠BCE＝８０、△DBEは二等辺三角形でADは正三角形ABEの対称軸
４０（１０，３０，５０，３０）　　　　　　４０	AB上に∠BDE＝１０、BC上に∠BFE＝４０となるE、Fをとると△EDFは正三角形で、FD＝FCよりFは△DECの外心。∠DCE＝３０でDCは正三角形AECの対称軸
４１（１０，３０，７０，１０）　　　　　　２０	正三角形EBCをA側に作る。BDはその対称軸。△DCEをDCで折り返し、E→Fとする。∠ABD＝∠DFCよりFBDAは円に内接し、BC＝CFより∠DACがわかる。
４２（１０，３０，７０，４０）　　　　　　２０	DよりBCに垂線を下ろしACの延長線との交点をEとする。正三角形DBEから、点Dは△ABEの外心。
４３（１０，３０，８０，２０）　　　　　　２０	BC＝CAで、△ACDを（A→B、D→E）△DCBの内部に貼る。△DECは正三角形。∠DBC＝３０から、点Eは△DBCの外心。
４４（１０，３０，１００，１０）　　　　　　１０	△ABCの外心をEとする。EC⊥BDより、四角形EBCDはタコ型、∠EAC＝∠EDC／２から、点Dは△AECの外心
４５（１０，３０，１００，２０）　　　　　　　１０	△DBCの外心EをとるとEはAB上にある。△DECは正三角形で、△AECは∠AEC＝∠ACE＝８０の二等辺三角形で、直線ADはその対称軸になっている。
４６（１０，４０，２０，３０）　　　　　　　７０	正三角形ACEをB側に作ると、DCはAEの垂直二等分線。AB=ACから、AB=AE、また、∠ABD＝∠BAE／２で、「定理６」より∠BAD＝∠ABD
４７（１０，４０，３０，２０）　　　　　　　６０	正三角形ABEをCでないほうに作る。頂角１４０の二等辺三角形AECより３点E,D,Cは同一直線上。△DEBは二等辺三角形より、Eは△ABDの外心
４８（１０，４０，６０，２０）　　　　　　　３０	問題３９番と同様
４９（１０，４０，７０，１０）　　　　　　　２０	AC=BCで△ADCを△DBCの内部に貼り付ける。A→B、D→Eとする。正三角形DECと△BDE≡△BCE
５０（１０，４０，７０，３０）　　　　　　　２０	△ABCの外心をEとする。△EBAは頂角１６０の二等辺三角形。正三角形EBCとBD＝BCから、△EBA≡△DBA
５１（１０，７０，３０，２０）　　　　　　　４０	問題４３番と同様
５２（１０，７０，４０，２０）　　　　　　　３０	正三角形DCEをBでないほうへ作る。CE＝CBより∠BEC＝４０＝∠BACでABCEは円に内接し、AB〃CEから、等脚台形になる。△ADE≡△BDC
５３（２０，１０，１０，３０）　　　　　　　７０	問題１９番と同様
５４（２０，１０，１０，４０）　　　　　　　７０	△ABCの外心をEとする。△BEC≡△BDCから、EC＝DC＝AC、△ACDは二等辺三角形
５５（２０，１０，１０，１００）　　　　　　　３０	△ABCの外心をEとする。点Dは△EBCの外心で、ED=CD、AE＝ACから、直線ADはタコ型四角形AEDCの対称軸
５６（２０，１０，２０，２０）　　　　　　　３０	問題５番と同様
５７（２０，１０，２０，３０）　　　　　　　４０	問題２５番と同様
５８（２０，１０，２０，６０）　　　　　　　４０	△ABCの外心EはCDの延長上にあり、△EBDをBDで折り返しE→Gとする。△EGDと△AECは正三角形なので、△EGC≡△EDA
５９（２０，１０，２０，８０）　　　　　　　３０	５９番の解答へ
６０（２０，１０，３０，２０）　　　　　　　２０	問題３６番と同様
６１（２０，１０，３０，４０）　　　　　　　３０	問題２８番と同様
６２（２０，１０，３０，５０）　　　　　　　３０	問題２９番と同様
６３（２０，１０，３０，８０）　　　　　　　２０	６３番の解答へ
６４（２０，１０，３０，１００）　　　　　　　１０	ACのCの延長上にFを△ABFが頂角２０の二等辺三角形になるようにとる。BF＝FCで∠BFC（優角）＝２８０＝２∠BDCより、Fは△DBCの外心で、ADは正三角形DBFの対称軸。
６５（２０，１０，４０，３０）　　　　　　　２０	問題２７番と同様
６６（２０，１０，４０，６０）　　　　　　　２０	△ABCの外心をE、∠BEF＝４０となるFをBC上にとる。∠EDB=５０からFは△EBDの外心で正三角形EFDがわかる。正三角形AECより、△EFC≡△EDA、∠EAD＝４０
６７（２０，１０，７０，３０）　　　　　　１０	△ABCの外心Eをとる。DCは正三角形AECの対称軸より、∠DAC＝∠DEC。また、∠EBD＝∠ECDから、EBCDは円に内接し、∠DEC＝∠DBC
６８（２０，１０，７０，４０）　　　　　　１０	問題３０番と同様
６９（２０，２０，１０，３０）　　　　　　８０	問題４番と同様
７０（２０，２０，２０，８０）　　　　　　３０	問題１２番と同様
７１（２０，２０，３０，８０）　　　　　　２０	△ABCの外心をE。DCは正三角形EBCの対称軸より、∠DEC＝２０、∠EDC＝１３０で∠EAC＝５０より、AEDCは円に内接する。∠DAC＝∠DEC
７２（２０，２０，８０，２０）　　　　　　１０	問題４９番と同様
７３（２０，２０，８０，３０）　　　　　　１０	問題５０番と同様
７４（２０，３０，１０，４０）　　　　　　７０	問題３５番と同様
７５（２０，３０，２０，６０）　　　　　　４０	AC=BC、正三角形BCEをA側に作る。BDはその対称軸より、△EDCは頂角１００の二等辺三角形。また、AC＝ECから、∠EAC＝８０で、AEDCは円に内接する。
７６（２０，３０，４０，６０）　　　　　　２０	△ABCの外心Eをとり、直線BDは正三角形EBCの対称軸なので、△EDCは頂角１４０の二等辺三角形また、∠EAC＝４０よりAEDCは円に内接する。
７７（２０，３０，７０，４０）　　　　　　１０	△DBCをBCで折り返して、D→Eとする。△BDEは正三角形で、∠BCE＝７０よりA、C、Eは同一直線上。△ABEは二等辺三角形より直線ADはその対称軸になる。
７８（２０，３０，８０，２０）　　　　　　１０	問題４２番と同様
７９（２０，４０，１０，３０）　　　　　　７０	７９番の解答へ
８０（２０，４０，３０，５０）　　　　　　３０	問題２２番と同様
８１（２０，４０，７０，３０）　　　　　　１０	問題３１番と同様
８２（２０，５０，３０，４０）　　　　　　３０	問題４７番と同様
８３（２０，６０，２０，３０）　　　　　　４０	問題３８番と同様
８４（２０，６０，４０，３０）　　　　　　２０	８４番の解答へ
８５（３０，１０，１０，７０）　　　　　　４０	８５番の解答へ
８６（３０，１０，１０，１００）　　　　　　２０	正三角形ABEをC側に作る。AC、BDはその対称軸から、∠CBE＝CEB＝２０、∠BAD＝∠BEDまた、∠BDC＋∠CEB＝１８０より、∠DCB＝∠BED＝１０
８７（３０，１０，２０，４０）　　　　　　３０	△BDCをBDで折り返して、C→Eとする。正三角形EDC。また、∠BEC＝∠BAC＝８０より、∠EAC＝∠EBC＝２０で、Eは△ADCの外心。∠DAC＝∠DEC／２
８８（３０，１０，２０，５０）　　　　　　３０	AB=BC,△DBCの外心をEとすると、∠BED＝２×∠DCB＝４０、△ABEは頂角１４０の二等辺三角形から、AとDとEは同一直線上で∠BAD＝４０
８９（３０，１０，２０，８０）　　　　　　２０	AC＝CBで△DBCを△ADCの内部に貼り付ける。△EDCは正三角形で、∠BDC＝∠AEC＝１５０から、∠AED＝１５０、△AEC≡△AED
９０（３０，１０，２０，１００）　　　　　　１０	△BDCの外心をEとすると、△BCEは正三角形で、A、C、Eは同一直線上.。正三角形DEFをB側に作る。△BFD≡△DCBで、A、B、Fは同一直線上。△AFD≡△AED
９１（３０，１０、３０，４０）　　　　　　２０	問題７５番と同様
９２（３０，１０，３０，５０）　　　　　　２０	９２番の解答へ
９３（３０，１０，４０，７０）　　　　　　１０	正三角形ABEをC側に作る。ACはその対称軸から、∠CBE＝∠CEB＝２０、∠CEA＝４０、でE、C、Dは同一直線上、BDも対称軸より、∠DAE＝∠DEA
９４（３０，２０，１０，４０）　　　　　　６０	△BDCをDCで折り返し、B→Eとする。△EBDは正三角形で、ABはその対称軸になっている。∠EBA＝∠ECAから、EBCAは円に内接し、∠EAB＝∠ECB
９５（３０，２０，１０、７０）　　　　　　４０	問題８９番と同様
９６（３０，２０，２０，８０）　　　　　　２０	問題９３番と同様
９７（３０，２０，４０，７０）　　　　　　１０	△ADCをACで折り返して、D→E（BCEは同一直線上）。△ADBをABで折り返してD→Fとする。正三角形ＦBDと二等辺三角形DBEから△AFD≡△ADE、∠FAE＝４０
９８（３０，２０，６０，４０）　　　　　　１０	△ABCの外心Eをとると、正三角形BEC。AC上に∠FEC＝６０となるFをとると△EBD≡△ECFから、正三角形EFDより点Fは△EDAの外心
９９（３０，４０，２０，５０）　　　　　　３０	AB＝AC、正三角形ABEをC側に作る。BDはその対称軸で,BDとAC、AEの交点をF、Mとする。∠AFM＝∠EFM、∠FCE＝８０から、Dは△FCEの傍心で、∠FED＝３０
１００（３０，４０，３０，５０）　　　　　　２０	△ABCの外心をEとすると、∠AEB＝１６０。DCは正三角形EBCの対称軸より、∠EBD＝∠DEB＝２０なので、３点A、E、Dは同一直線上
１０１（３０，５０，２０，４０）　　　　　　３０	CDとABの交点をEとすると、BC＝CE＝EA。正三角形ECFをA側に作ると、Eは△AFCの外心。∠AED＋∠AFD＝１８０より、AEDFは円に内接する。
１０２（３０，５０，３０，４０）　　　　　　２０	△ABCの外心をE、DCは正三角形EBCの対称軸で、∠EDB＝１６０、二等辺三角形ABEより、∠BAE＝２０から、AEDBは円に内接する。∠BAD＝∠BED
１０３（４０，１０，１０，７０）　　　　　　３０	AC＝CB、正三角形ACEをB側に作る。二等辺三角形BDC≡△EDCより四角形AEDCはタコ型
１０４（４０，１０，２０，６０）　　　　　　２０	問題８８番と同様
１０５（４０，１０，３０，７０）　　　　　　１０	△ABCの外心をEとする。DCは正三角形EBCの対称軸より∠DEC＝１０で∠EDC＋∠EAC＝１８０よりAEDCは円に内接する。
１０６（４０，２０，１０，７０）　　　　　　３０	BDとACの交点をEとし、正三角形BCFをAでない方に作る。Bは△ECFの外心。∠BDC=１５０より、Fは△DBCの外心で、△DAE≡△EFDがいえる。
１０７（４０，２０，３０，７０）　　　　　　１０	問題６３番と同様
１０８（４０，３０，２０，６０）　　　　　　２０	問題１００番と同様

Ｎｏ．
問題
　　　　　　答え

一つの解き方

１
（１０，１０，１０，２０）
　　　　　　１００

点EをA側になるように正三角形BDEを作る。点Dは△EBCの外心。∠ECD＝２０よりC,A,Eは同一直線上。∠EBA＝∠EAB…Eは△ABDの外心

２
（１０，１０，１０，３０）
　　　　　　１００

頂角４０の合同な二等辺三角形FBDとEDCをA側に作る。△FDEは正三角形で、F、A、Cは同一直線上がいえて、正三角形FBA、点Fは△ABDの外心になる。

３
（１０，１０，２０，１０）
　　　　　　　３０

△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。△DECは正三角形、△EBCと△AECは二等辺三角形から、点Eは△ADCの外心

４
（１０，１０，２０，３０）
　　　　　　　７０

△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。△EDCは正三角形でACはその対称軸から四角形ADCEはタコ型

５
（１０，１０，２０，４０）
　　　　　　　７０

∠ACDの二等分線とABの交点をEとする。点Dは△EBCの内心。∠BED＝∠DEC＝∠DEA＝６０から、四角形EDCAはタコ型。

６
（１０，１０，２０，１００）
　　　　　　　３０

△BDCをBDで折り返し、C→Eとする。△DECは正三角形、△AECは二等辺三角形から、点Ｅは△ＡＤＣの外心

７
（１０，１０，３０，１０）
　　　　　　２０

BAのAの延長上に∠DEA＝１０となるEをとり、△DBCの外心Fをとると、点Dは△BFEの外心から、３点F、C、Eは同一直線上

８
（１０，１０，３０，２０）
　　　　　　４０

BA,BCのBでない方の延長線上に∠DEA＝∠DFC＝２０のE、Fをとると正三角形EDF、∠DCF＝１５０よりEは△DCFの外心で四角形ADCEは円に内接

９
（１０，１０，３０，７０）
　　　　　　４０

９番の解答へ

１０
（１０，１０，３０，１００）
　　　　　　２０

正三角形DBEをC側に作ると、Eは△DBCの外心で、A、C、Eは同一直線上で∠BAE＝３０から、点Dは△ABEの外心となる。

１１
（１０，１０，４０，２０）
　　　　　　３０

∠DCBの二等分線とDBの交点をFとすると、Fは△EBCの内心で、∠BEF＝∠CEF＝６０から、△EFC≡△EAC、∠DAC＝∠DFC

１２
（１０，１０，４０，７０）
　　　　　　３０

CDの延長線と辺の交点をE、BDの延長線の交点をF、対角の和が１８０より、四角形AEDFは円に内接。Fは△EBCの傍心から、∠EFD＝２０＝∠EAD

１３
（１０，１０，７０，３０）
　　　　　　２０

１３番の解答へ

14
（１０，１０，７０，４０）
　　　　　　２０

１４番の解答へ

１５
（１０，１０，１００，２０）
　　　　　　１０

BC、BAのBでない延長上に∠DFA＝∠DEC＝２０となるF,Eをとる。CE＝ED＝EFから、Eは△FDCの外心。四角形ADCFは円に内接する

１６
（１０，１０，１００，３０）
　　　　　　１０

△BCDの外心EはAB上にあり、EC＝ED、∠DEA＝２０。△AECの外心Fをとる。正三角形FECから、△EFA≡△EDA

１７
（１０，２０，１０，３０）
　　　　　　１００

△ABCの外心をとる。AE＝EB＝EC、正三角形AECの直線DCは対称軸より、DA＝DE、∠DBE＝∠AEB／２＝４０、「定理６」よりDEは△AEBの対称軸。

１８
（１０，２０，２０，２０）
　　　　　　　８０

問題１１番と同様

１９
（１０，２０，２０，３０）
　　　　　　　８０

正三角形DCEをA側に作る。DB＝DC＝DEより点Dは△EBCの外心で、∠EBD＝１０より、EはBA上にある。四角形ADCEはタコ型

２０
（１０，２０，３０，１０）
　　　　　　　４０

正三角形EBCをA側に作る。直線BAとCDはその対称軸から、∠ACE＝∠AEC＝２０、∠DBE＝∠DEB＝４０から、３点E,A,Dは同一直線上。

２１
（１０，２０，３０，２０）
　　　　　　　６０

正三角形EBCをA側に作る。直線BAとCDはその対称軸から、∠AEC＝∠ACE＝１０、∠DEC＝∠DBC＝２０で、∠DEA＝∠ABDから、４点EBDAは同一円周上

２２
（１０，２０，３０，４０）
　　　　　　　６０

△BDCの外心をEとする。∠BEC＋∠BAC＝１８０より四角形ABECは円に内接する。∠AEB＝７０より△ABE,△DEBは二等辺三角形。∠BAD＝∠EAD

２３
（１０，２０，３０，７０）
　　　　　　４０

CDとABの交点をG、△ABCの外心をEとする。△BGC、△BECは二等辺三角形でEGはその対称軸より、△EBG≡△DBG、△EBA≡△DBAから、∠BAD=∠BAE

２４
（１０，２０，４０，１０）
　　　　　　３０

BAのAの延長線上に∠DEA＝１０、BCのCの延長線上に∠DFC＝２０となるEFをとると、Dは△EBFの外心。四角形EDCFはタコ型、四角形ADCEは円に内接する。

２５
（１０，２０，４０，３０）
　　　　　　５０

△ABCの外心E、BEとCDの交点をFとし、線分CDは正三角形AECの対称軸より、∠DFE＝∠DFA＝５０、点Dは△ABFの内心になっている。∠DAF＝３０

２６
（１０，２０，４０，７０）
　　　　　　３０

２６番の解答へ

２７
（１０，２０，５０，３０）
　　　　　　４０

△ABCの外心EはBD上にあり、線分CDは正三角形AECの対称軸で、∠DAC＝∠DEC

２８
（１０，２０，６０，２０）
　　　　　　８０

△ABCの外心EはBD上にあり、線分ADは正三角形AECの対称軸で、∠DAC＝∠DＡＥ

２９
（１０，２０，６０，４０）
　　　　　　３０

△ABCの外心Eを作る。∠EBD＝∠DCEより四角形EBCDは円に内接する。∠DEC＝∠DCE＝２０、DE＝DCで、ADは正三角形AECの対称軸

３０
（１０，２０，８０，２０）
　　　　　　２０

正三角形ABEをC側につくり、BCとAEの交点をFとする。BCはその対称軸なので、∠ACF＝∠ECF＝８０から、D、C、Eは同一直線上。DB＝DEから、ADも対称軸

３１
（１０，２０，８０，３０）
　　　　　　２０

∠DBCの二等分線とACの交点をEとする。四角形DBCEはタコ型で∠CEB＝∠BED＝６０＝∠DEA、点Dは△ABEの内心になっている。

３２
（１０，２０，１００，１０）
　　　　　　１０

３２番の解答へ

３３
（１０，２０，１００，３０）
　　　　　　１０

△ABCの外心をE、CDとABの交点をFとする。直線CFはは正三角形ACEの対称軸より、∠FAC＝∠FEC、∠FEB＋∠FDB＝１８０、∠FBD＝∠FED＝∠FAD

３４
（１０，３０，１０，２０）
　　　　　１００

正三角形EBCをA側に作る。BD、ACはその対称軸より、∠BED＝∠BCD＝１０、∠AEB＝２０、∠ABD＝∠AED＝１０で、ADBEは円に内接する。

３５
（１０，３０，２０，２０）
　　　　　８０

正三角形AECをB側に作る。点Aは△BECの外心で、四角形DBECはタコ型から、△DBEは正三角形で線分ADは二等辺三角形の対称軸。

３６
（１０，３０，２０，４０）
　　　　　　７０

△BDCの外心Eをとる。△DECは正三角形、∠BEC＋∠BAC＝１８０でABECは円に内接するので、∠CAE＝４０＝∠CEA、△ACDは二等辺三角形

３７
（１０，３０，４０，２０）
　　　　　　５０

CDとABの交点をE、BE＝EC＝AC、正三角形ECFをA側に作ると。頂角１６０の二等辺三角形EBFから、B,D,Fは同一直線上、Cは△AEFの外心、A,C,D,Fは同一円周上。

３８
（１０，３０，４０，３０）
　　　　　　５０

BA＝BC、正三角形AEBを作る。△AECの外心はBとなり、∠BED＝４０、∠EDB＝７０、より、E、D、Cは同一直線上、点Eは△ABDの外心

３９
（１０，３０，５０，２０）
　　　　　　４０

正三角形ABEをC側に作る。Bは△ACEの外心。∠DBE＋∠DCE＝１８０より∠BDE=∠BCE＝８０、△DBEは二等辺三角形でADは正三角形ABEの対称軸

４０
（１０，３０，５０，３０）
　　　　　　４０

AB上に∠BDE＝１０、BC上に∠BFE＝４０となるE、Fをとると△EDFは正三角形で、FD＝FCよりFは△DECの外心。∠DCE＝３０でDCは正三角形AECの対称軸

４１
（１０，３０，７０，１０）
　　　　　　２０

正三角形EBCをA側に作る。BDはその対称軸。△DCEをDCで折り返し、E→Fとする。∠ABD＝∠DFCよりFBDAは円に内接し、BC＝CFより∠DACがわかる。

４２
（１０，３０，７０，４０）
　　　　　　２０

DよりBCに垂線を下ろしACの延長線との交点をEとする。正三角形DBEから、点Dは△ABEの外心。

４３
（１０，３０，８０，２０）
　　　　　　２０

BC＝CAで、△ACDを（A→B、D→E）△DCBの内部に貼る。△DECは正三角形。∠DBC＝３０から、点Eは△DBCの外心。

４４
（１０，３０，１００，１０）
　　　　　　１０

△ABCの外心をEとする。EC⊥BDより、四角形EBCDはタコ型、∠EAC＝∠EDC／２から、点Dは△AECの外心

４５
（１０，３０，１００，２０）
　　　　　　　１０

△DBCの外心EをとるとEはAB上にある。△DECは正三角形で、△AECは∠AEC＝∠ACE＝８０の二等辺三角形で、直線ADはその対称軸になっている。

４６
（１０，４０，２０，３０）
　　　　　　　７０

正三角形ACEをB側に作ると、DCはAEの垂直二等分線。AB=ACから、AB=AE、また、∠ABD＝∠BAE／２で、「定理６」より∠BAD＝∠ABD

４７
（１０，４０，３０，２０）
　　　　　　　６０

正三角形ABEをCでないほうに作る。頂角１４０の二等辺三角形AECより３点E,D,Cは同一直線上。△DEBは二等辺三角形より、Eは△ABDの外心

４８
（１０，４０，６０，２０）
　　　　　　　３０

問題３９番と同様

４９
（１０，４０，７０，１０）
　　　　　　　２０

AC=BCで△ADCを△DBCの内部に貼り付ける。A→B、D→Eとする。正三角形DECと△BDE≡△BCE

５０
（１０，４０，７０，３０）
　　　　　　　２０

△ABCの外心をEとする。△EBAは頂角１６０の二等辺三角形。正三角形EBCとBD＝BCから、△EBA≡△DBA

５１
（１０，７０，３０，２０）
　　　　　　　４０

問題４３番と同様

５２
（１０，７０，４０，２０）
　　　　　　　３０

正三角形DCEをBでないほうへ作る。CE＝CBより∠BEC＝４０＝∠BACでABCEは円に内接し、AB〃CEから、等脚台形になる。△ADE≡△BDC

５３
（２０，１０，１０，３０）
　　　　　　　７０

問題１９番と同様

５４
（２０，１０，１０，４０）
　　　　　　　７０

△ABCの外心をEとする。△BEC≡△BDCから、EC＝DC＝AC、△ACDは二等辺三角形

５５
（２０，１０，１０，１００）
　　　　　　　３０

△ABCの外心をEとする。点Dは△EBCの外心で、ED=CD、AE＝ACから、直線ADはタコ型四角形AEDCの対称軸

５６
（２０，１０，２０，２０）
　　　　　　　３０

問題５番と同様

５７
（２０，１０，２０，３０）
　　　　　　　４０

問題２５番と同様

５８
（２０，１０，２０，６０）
　　　　　　　４０

△ABCの外心EはCDの延長上にあり、△EBDをBDで折り返しE→Gとする。△EGDと△AECは正三角形なので、△EGC≡△EDA

５９
（２０，１０，２０，８０）
　　　　　　　３０

５９番の解答へ

６０
（２０，１０，３０，２０）
　　　　　　　２０

問題３６番と同様

６１
（２０，１０，３０，４０）
　　　　　　　３０

問題２８番と同様

６２
（２０，１０，３０，５０）
　　　　　　　３０

問題２９番と同様

６３
（２０，１０，３０，８０）
　　　　　　　２０

６３番の解答へ

６４
（２０，１０，３０，１００）
　　　　　　　１０

ACのCの延長上にFを△ABFが頂角２０の二等辺三角形になるようにとる。BF＝FCで∠BFC（優角）＝２８０＝２∠BDCより、Fは△DBCの外心で、ADは正三角形DBFの対称軸。

６５
（２０，１０，４０，３０）
　　　　　　　２０

問題２７番と同様

６６
（２０，１０，４０，６０）
　　　　　　　２０

△ABCの外心をE、∠BEF＝４０となるFをBC上にとる。∠EDB=５０からFは△EBDの外心で正三角形EFDがわかる。正三角形AECより、△EFC≡△EDA、∠EAD＝４０

６７
（２０，１０，７０，３０）
　　　　　　１０

△ABCの外心Eをとる。DCは正三角形AECの対称軸より、∠DAC＝∠DEC。また、∠EBD＝∠ECDから、EBCDは円に内接し、∠DEC＝∠DBC

６８
（２０，１０，７０，４０）
　　　　　　１０

問題３０番と同様

６９
（２０，２０，１０，３０）
　　　　　　８０

問題４番と同様

７０
（２０，２０，２０，８０）
　　　　　　３０

問題１２番と同様

７１
（２０，２０，３０，８０）
　　　　　　２０

△ABCの外心をE。DCは正三角形EBCの対称軸より、∠DEC＝２０、∠EDC＝１３０で∠EAC＝５０より、AEDCは円に内接する。∠DAC＝∠DEC

７２
（２０，２０，８０，２０）
　　　　　　１０

問題４９番と同様

７３
（２０，２０，８０，３０）
　　　　　　１０

問題５０番と同様

７４
（２０，３０，１０，４０）
　　　　　　７０

問題３５番と同様

７５
（２０，３０，２０，６０）
　　　　　　４０

AC=BC、正三角形BCEをA側に作る。BDはその対称軸より、△EDCは頂角１００の二等辺三角形。また、AC＝ECから、∠EAC＝８０で、AEDCは円に内接する。

７６
（２０，３０，４０，６０）
　　　　　　２０

△ABCの外心Eをとり、直線BDは正三角形EBCの対称軸なので、△EDCは頂角１４０の二等辺三角形また、∠EAC＝４０よりAEDCは円に内接する。

７７
（２０，３０，７０，４０）
　　　　　　１０

△DBCをBCで折り返して、D→Eとする。△BDEは正三角形で、∠BCE＝７０よりA、C、Eは同一直線上。△ABEは二等辺三角形より直線ADはその対称軸になる。

７８
（２０，３０，８０，２０）
　　　　　　１０

問題４２番と同様

７９
（２０，４０，１０，３０）
　　　　　　７０

７９番の解答へ

８０
（２０，４０，３０，５０）
　　　　　　３０

問題２２番と同様

８１
（２０，４０，７０，３０）
　　　　　　１０

問題３１番と同様

８２
（２０，５０，３０，４０）
　　　　　　３０

問題４７番と同様

８３
（２０，６０，２０，３０）
　　　　　　４０

問題３８番と同様

８４
（２０，６０，４０，３０）
　　　　　　２０

８４番の解答へ

８５
（３０，１０，１０，７０）
　　　　　　４０

８５番の解答へ

８６
（３０，１０，１０，１００）
　　　　　　２０

正三角形ABEをC側に作る。AC、BDはその対称軸から、∠CBE＝CEB＝２０、∠BAD＝∠BEDまた、∠BDC＋∠CEB＝１８０より、∠DCB＝∠BED＝１０

８７
（３０，１０，２０，４０）
　　　　　　３０

△BDCをBDで折り返して、C→Eとする。正三角形EDC。また、∠BEC＝∠BAC＝８０より、∠EAC＝∠EBC＝２０で、Eは△ADCの外心。∠DAC＝∠DEC／２

８８
（３０，１０，２０，５０）
　　　　　　３０

AB=BC,△DBCの外心をEとすると、∠BED＝２×∠DCB＝４０、△ABEは頂角１４０の二等辺三角形から、AとDとEは同一直線上で∠BAD＝４０

８９
（３０，１０，２０，８０）
　　　　　　２０

AC＝CBで△DBCを△ADCの内部に貼り付ける。△EDCは正三角形で、∠BDC＝∠AEC＝１５０から、∠AED＝１５０、△AEC≡△AED

９０
（３０，１０，２０，１００）
　　　　　　１０

△BDCの外心をEとすると、△BCEは正三角形で、A、C、Eは同一直線上.。正三角形DEFをB側に作る。△BFD≡△DCBで、A、B、Fは同一直線上。△AFD≡△AED

９１
（３０，１０、３０，４０）
　　　　　　２０

問題７５番と同様

９２
（３０，１０，３０，５０）
　　　　　　２０

９２番の解答へ

９３
（３０，１０，４０，７０）
　　　　　　１０

正三角形ABEをC側に作る。ACはその対称軸から、∠CBE＝∠CEB＝２０、∠CEA＝４０、でE、C、Dは同一直線上、BDも対称軸より、∠DAE＝∠DEA

９４
（３０，２０，１０，４０）
　　　　　　６０

△BDCをDCで折り返し、B→Eとする。△EBDは正三角形で、ABはその対称軸になっている。∠EBA＝∠ECAから、EBCAは円に内接し、∠EAB＝∠ECB

９５
（３０，２０，１０、７０）
　　　　　　４０

問題８９番と同様

９６
（３０，２０，２０，８０）
　　　　　　２０

問題９３番と同様

９７
（３０，２０，４０，７０）
　　　　　　１０

△ADCをACで折り返して、D→E（BCEは同一直線上）。△ADBをABで折り返してD→Fとする。正三角形ＦBDと二等辺三角形DBEから△AFD≡△ADE、∠FAE＝４０

９８
（３０，２０，６０，４０）
　　　　　　１０

△ABCの外心Eをとると、正三角形BEC。AC上に∠FEC＝６０となるFをとると△EBD≡△ECFから、正三角形EFDより点Fは△EDAの外心

９９
（３０，４０，２０，５０）
　　　　　　３０

AB＝AC、正三角形ABEをC側に作る。BDはその対称軸で,BDとAC、AEの交点をF、Mとする。∠AFM＝∠EFM、∠FCE＝８０から、Dは△FCEの傍心で、∠FED＝３０

１００
（３０，４０，３０，５０）
　　　　　　２０

△ABCの外心をEとすると、∠AEB＝１６０。DCは正三角形EBCの対称軸より、∠EBD＝∠DEB＝２０なので、３点A、E、Dは同一直線上

１０１
（３０，５０，２０，４０）
　　　　　　３０

CDとABの交点をEとすると、BC＝CE＝EA。正三角形ECFをA側に作ると、Eは△AFCの外心。∠AED＋∠AFD＝１８０より、AEDFは円に内接する。

１０２
（３０，５０，３０，４０）
　　　　　　２０

△ABCの外心をE、DCは正三角形EBCの対称軸で、∠EDB＝１６０、二等辺三角形ABEより、∠BAE＝２０から、AEDBは円に内接する。∠BAD＝∠BED

１０３
（４０，１０，１０，７０）
　　　　　　３０

AC＝CB、正三角形ACEをB側に作る。二等辺三角形BDC≡△EDCより四角形AEDCはタコ型

１０４
（４０，１０，２０，６０）
　　　　　　２０

問題８８番と同様

１０５
（４０，１０，３０，７０）
　　　　　　１０

△ABCの外心をEとする。DCは正三角形EBCの対称軸より∠DEC＝１０で∠EDC＋∠EAC＝１８０よりAEDCは円に内接する。

１０６
（４０，２０，１０，７０）
　　　　　　３０

BDとACの交点をEとし、正三角形BCFをAでない方に作る。Bは△ECFの外心。∠BDC=１５０より、Fは△DBCの外心で、△DAE≡△EFDがいえる。

１０７
（４０，２０，３０，７０）
　　　　　　１０

問題６３番と同様

１０８
（４０，３０，２０，６０）
　　　　　　２０

問題１００番と同様