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| BASIC + α |
| このページは公立中学校でに習う内 容を基本とし、それとプラスアルファの 内容でこの「スウガクとくガウス」は事 たりるかな～いうわけで、チュートリ アルみたいなもんです。 |
【対頂角】 ∠ｘ = ∠ｙ |
【同位角】 直線ｍ〃直線ｎ ⇔∠ｘ = ∠ｙ |
【錯角】 直線ｍ〃直線ｎ ⇔ ∠ｘ = ∠ｙ |
【補角】 直線ｍ〃直線ｎ ⇔ ∠ｘ＋∠ｙ＝１８０° |
【三角形の外角】 ∠ｘ ＋ ∠ｙ＝∠Z |
| 【三角形の合同に関する定理】 |
| ① ３組の辺がそれぞれ等しい。 （３辺相等） ② ２組の辺とその間の角 がそれぞれ等しい。 （２辺夾角相等） ③ １組の辺とその両端の角 がそれぞれ等しい。 （２角夾辺相等）  ④ ２組の辺と１対角が等しいとき、 △ABCと△DEFにおいて、 AB＝DE、AC＝DF、 ∠B＝∠E ならば ∠C＝∠F または∠C＋∠F＝１８０ が成り立つ  |
| 【直角三角形の定理】 |
| 【合同の定理】 ① 斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい。 ② 斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。  |
| 【定理】 ① 直角三角形ABCの斜辺ACの 中点Mをとると AM＝BM＝CM がなりたつ。 ② △ABCの辺ACの中点Mをとり AM＝BM＝CM がなりたつと ∠ABC＝９０°である。  |
| 【二等辺三角形に関するする定義や定理】 |
| 【定義】 二等辺三角形とは二辺が等しい三角形  |
| 【定理】 ＡＢ＝ＡＣ ⇔ ∠Ｂ＝∠Ｃ  |
| 【定理】 二等辺三角形において、 頂角の二等分線は 底辺の垂直二等分線になる。  |
| 【 二等辺三角形に関する問題は基本問題ですが問題６は難問です 】 |
| 問題１ 鋭角△ＡＢＣの頂点Ｂ、Ｃからそれぞれ辺ＡＣ、ＡＢに垂線ＢＭ，ＣＮをおろしＢＭ＝ＣＮ ならば、ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。 |
| 問題２ 鋭角△ＡＢＣの頂点Ｂ、Ｃからそれぞれ辺ＡＣ、ＡＢに垂線ＢＭ，ＣＮをおろしＭN〃BＣ ならば、ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。 |
| 問題３ △ＡＢＣの∠Ｂ、∠Ｃの角の二等分線とＡＣ、ＡＢの交点をそれぞれ、Ｄ，Ｅとする。EＤ〃BＣならば、ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。 |
| 問題４ △ＡＢＣのＡＢ、ＡＣの中点をそれぞれＭ，ＮとするＢＮ＝ＣＭ ならば、ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。 |
| 問題５ △ＡＢＣの∠Ａの角の二等分線とＢＣの交点をＭとすると、ＢＭ＝ＣＭならば、ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。 |
| 問題６ 「シュタイナー・レームスの定理」と呼ばれる問題～ △ＡＢＣの∠Ｂ、∠Ｃの角の二等分線と ＡＣ、ＡＢの交点をそれぞれ、Ｄ，Ｅとする。 ＢＤ＝ＣＥならば、ＡＢ＝ＡＣを証明しなさい。 問題６の解答 |
| 問題７ すべての三角形が２等辺三角形であることの証明 ～なにがいけないかを指摘してください（↑クリック） |
| 【平行四辺形に関する定理】 |
| ① ２組の対辺がそれぞれ平行。（定義） ② ２組の対辺がそれぞれ等しい。 ③ ２組の対角がそれぞれ等しい。 ④ １組の対辺が平行で等しい。 ⑤ 対角線がそれぞれの中点で交わる。  |
| 【上の⑤について】 最近の中二の教科書では⑤では「それぞれ～」という表現だがそれ以前の教科書では「対角線がおのおのの中点で交わる。」という表現が多かったように思われる。「おのおの」は死語になりつつあるのかナー。昔は「オノオノガタ→長谷川一夫→桜井長一郎ｏｒ林家木久蔵」という流れで「おのおの」は生きていたんだが、「それぞれ」より、いっそのこと管理人は使いたくない表現というより嫌いな表現の「ぜんぜん～肯定表現」でいくと、「対角線がぜんぜん中点で交わる。」のほうが、今風で軽薄的でなかなかよろしい。 「オノオノガタ→長谷川一夫→桜井長一郎ｏｒ林家木久蔵」の意味がわからない方はそれぞれ検索を！しかしそんな古いギャグは若い人はわかりまへんで…そういうオレって…  |
| 【等脚台形の定義】 |
| 等脚台形とは AD〃BC である台形において、 ∠B＝∠C （または∠A＝∠D） を満たすとき等脚台形という。  |
| 【等脚台形に関する問題】 |
問題８ AD〃BC 、∠B＝∠C である等脚台形において AB＝DCを証明しなさい。 |
問題９ AD〃BC 、∠B＝∠C である等脚台形において 対角線AC＝対角線DB を証明しなさい。 |
問題１０ 平行な２直線と１つの円が４点で 交わるとき、この４点を結ぶ 四角形は等脚台形であること を証明しなさい。 |
問題１１ 四角形ABCDにおいて AB＝CD、∠B＝∠C ならば この四角形ABCDは等脚台形で あることを証明しなさい。 |
問題１２ AD〃BC の台形において 対角線AC＝対角線DB ならば この台形は等脚台形である ことを証明しなさい。 |
問題１３ AD〃BC の等脚台形（∠B＝∠C、 AD＜BC） において、 この等脚台形が円に内接することを 証明しなさい。 |
| 問題１４ （高校生向き） △ABCにおいて、AB＝５、BC＝２√３、 CA＝４＋√３として、次の値を求めよ。 （１） ｃｏｓＡを求めよ。 （２） △ABCの面積 （３） △ABCの外接円Oの半径 Bを通り、CAに平行な直線と円Oとの交点 のうち、Bと異なる方をDとする。 （４） CDの長さ （５） BDの長さ （６） 台形ADBCの面積 （ 答え １２ ） ２００３年のセンター試験です。センター試験には図はありませんでしたが、（６）がうまくできなかった受験生は問題の図をある程度はきれいに書くことが必要かもしれません。むしろ、「問題１０」は知っとけということカナー |
| 【中点連結定理】 |
| △ABCの辺AB,ACの中点を それぞれM,Nとすると、 MN〃BC、MN＝BC／２ が成り立つ。  現在、中点連結定理は中３でやっていま すが以前のように中２でやっていたほ うが比の処理も含めて、問題演習に 時間を費やせるように思います。 |
| 【円に関すること】 |
１つの弧に対する円周角は、 その弧に対する中心角の半分 下の図では、 ∠BAC＝∠BOC／２  |
１つの弧に対する円周角は等しい。 下の図では、弧BCに対して、 ∠BAC＝∠BDC  |
円に内接する四角形では、 対角の和は１８０°です。 下の図では ∠BAD＋∠BCD＝１８０°  |
円に内接する四角形では １つの内角は その対角の外角に等しい。 下の図では ∠BAD＝∠DCE  |
| 【４つの点が１つの円周上にあるための条件】 共円条件とも言います。 |
下の図のように線分ABの同じ側に ２点P,Qはあって、 ∠APB＝∠AQB が成り立つと ４点A,B,P,Qは１つの円周上にある。  |
下の図のように線分ABの両側に ２点P,Qはあって、 ∠APB＋∠AQB＝１８０° が成り立つと ４点A,B,P,Qは１つの円周上にある。  |
接弦定理をやってたころのほうが、円周角
の処理能力が当時の生徒が上だったりして…
